Question

已知曲线C：(5－m)x²＋(m－2)y²＝8(m∈R)．
(1)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；
(2)设m＝4，曲线C与y轴的交点为A，B(点A位于点B的上方)，直线y＝kx＋4与曲线C交于不同的两点M，N，直线y＝1与直线BM交于点G.求证：A，G，N三点共线．

Answer 1

（1）（2）见解析

学生错解：解：(1)曲线C是焦点在x轴上的椭圆，当且仅当解得2＜m＜5，所以m的取值范围是(2，5)．
(2)当m＝4时，曲线C的方程为x²＋2y²＝8，点A，B的坐标分别为(0，2)，(0，－2)．
由得(1＋2k²)x²＋16kx＋24＝0.
设点M，N的坐标分别为(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，则y₁＝kx₁＋4，y₂＝kx₂＋4，x₁＋x₂＝，x₁x₂＝.直线BM的方程为y＋2＝x，点G的坐标为.
因为直线AN和直线AG的斜率分别为k_AN＝，k_AG＝－，所以k_AN－k_AG＝
＝＝＝＝0.
即k_AN＝k_AG.故A，G，N三点共线．
审题引导：(1)方程的曲线是焦点在x轴上的椭圆；
(2)证明三点共线的常用方法．
规范解答：解：(1)曲线C是焦点在x轴上的椭圆，当且仅当 (3分)
解得＜m＜5，所以m的取值范围是.(4分)
(2)当m＝4时，曲线C的方程为x²＋2y²＝8，点A，B的坐标分别为(0，2)，(0，－2)．(5分)
由得(1＋2k²)x²＋16kx＋24＝0.(6分)
因为直线与曲线C交于不同的两点，所以Δ＝(16k)²－4(1＋2k²)×24＞0，即k²＞.(7分)
设点M，N的坐标分别为(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，则y₁＝kx₁＋4，y₂＝kx₂＋4，
x₁＋x₂＝，x₁x₂＝.(8分)
直线BM的方程为y＋2＝x，点G的坐标为.(9分)
因为直线AN和直线AG的斜率分别为k_AN＝，k_AG＝－，(11分)
所以k_AN－k_AG＝＝0.
即k_AN＝k_AG.(13分)故A，G，N三点共线．(14分)
错因分析：易忽视焦点在x轴上，漏掉这一条件，从而失误．联立消元后易忽视Δ＞0这一前提条件．