Question

在△ABC中，AB=3，AC=4，∠BAC=60°，若P是△ABC所在平面内一点，且AP=2，则

PB

•

PC

的最大值为

10+2

37

．

Answer 1

分析：以A为原点，以AB所在的直线为y轴，以过点A且与AB垂直的直线为x轴建立直角坐标系，求出B，A，C，设P（x，y）然后表示

PB

，

PC

，代入

PB

•

PC

之后结合圆的性质可求

解答：解：以A为原点，以AB所在的直线为y轴，以过点A且与AB垂直的直线为x轴建立直角坐标系
则由题意可得B（0，3），A（0，0），C（2

3

，2），设P（x，y）
∴

PB

=（-x，3-y），

PC

=（2

3

-x，2-y）
∴

PB

•

PC

=-2

3

x+x2+6-5y+y2
=(x-

3

)2+(y-

5

2

)2-

13

4

而(x-

3

)2+(y-

5

2

)2表示动点P到定点M（

3

，

5

2

）的距离的平方
根据圆的性质可知，M到圆心A的距离的最大值MA=

3+ 25 4

=

37 4

PM=MA+2=

37 4

+2
∴(x-

3

)2+(y-

5

2

)2-

13

4

最大值

37

4

+4+4

37 4

-

13

4

=10+2

37

∴

PB

•

PC

的最大值10+2

37

故答案为：10+2

37

点评：本题主要考查了向量的数量积的 坐标表示的应用，圆的性质的应用，点的距离公式的应用，属于中档试题