Question

已知定义在R上的函数f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0）的周期为π，
且对一切x∈R，都有f（x）≤f(

π

12

)=4；
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）若g（x）=f（

π

6

-x），求函数g（x）的单调增区间；
（3）若函数y=f（x）-3的图象按向量

c

=（m，n） （|m|＜

π

2

）平移后得到一个奇函数的图象，求实数m、n的值．

Answer 1

分析：（1）由辅助角公式，我们可将函数解析式化为正弦型函数的形式，结合函数f（x）的周期为π，对一切x∈R，都有f（x）≤f(

π

12

)=4，我们可以构造a，b，ω的方程，求出a，b，ω的后，即可得到函数f（x）的表达式；
（2）根据g（x）=f（

π

6

-x），求出函数g（x）的解析式，进而根据正弦型函数的单调性，确定函数g（x）的单调增区间；
（3）根据正弦型函数的平移法则，我们可以求出函数y=f（x）-3的图象按向量

c

=（m，n）平移后得到的图象，由其为奇函数，故原点为其对称中心，根据正弦函数的对称性，易得到实数m、n的值．

解答：解：（1）∵f(x)=asinωx+bcosωx=

a2+b2

sin(ωx+φ)，又周期T=

2π

ω

=π∴ω=2
∵对一切x∈R，都有f（x）≤f(

π

12

)=4
∴

a2+b2 =4 asin π 6 +bcos π 6 =4

解得：

a=2 b=2 3

∴f（x）的解析式为f(x)=2sin2x+2

3

cos2x=4sin(2x+

π

3

)
（2）∵g(x)=f(

π

6

-x)=4sin[2(

π

6

-x)+

π

3

]=4sin(-2x+

2π

3

)=-4sin(2x-

2π

3

)（3）
∴g（x）的增区间是函数y=sin(2x-

2π

3

)的减区间
∴由2kπ+

π

2

≤2x-

2π

3

≤2kπ+

3π

2

得g（x）的增区间为[kπ+

7π

12

，kπ+

13π

12

]（k∈Z）（等价于[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]．
（3）m=

π

6

，n=3

点评：本题考查的知识点是正弦型函数解析式的求法，正弦型函数的单调性，正弦型函数的图象变换，其中（1）的关键是根据已知构造a，b，ω的方程，（2）的关键是求出函数g（x）的解析式，（3）的关键是利用函数的对称性，得到原点为其对称中心．