Question

已知函数f（x）=2x-2lnx
（Ⅰ）求函数在（1，f（1））的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值；
（Ⅲ）对于曲线上的不同两点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），如果存在曲线上的点Q（x₀，y₀），且x₁＜x₀＜x₂，使得曲线在点Q处的切线l∥P₁P₂，则称l为弦P₁P₂的陪伴切线．已知两点A（1，f（1）），B（e，f（e）），试求弦AB的陪伴切线l的方程．

Answer 1

（I）∵y=2x-2lnx，∴y′=2-2×

1

x

∴函数y=2x-2lnx在x=1处的切线斜率为0，
又∵切点坐标为（1，2）
切线方程为y=2；
（Ⅱ）f′(x)=2-

2

x

，x＞0．…（6分）
f′（x）=0，得x=1．
当x变化时，f′（x）与f（x）变化情况如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	单调递减	极小值	单调递增

∴当x=1时，f（x）取得极小值f（1）=2．没有极大值．…（9分）
（Ⅲ）设切点Q（x₀，y₀），则切线l的斜率为f′(x0)=2-

2

x0

，x0∈(1，e)．
弦AB的斜率为kAB=

f(e)-f(1)

e-1

=

2(e-1)-2(1-0)

e-1

=2-

2

e-1

．…（10分）
由已知得，l∥AB，则2-

2

x0

=2-

2

e-1

，解得x₀=e-1，代入函数式得y₀=2（e-1）-2ln（e-1）
解出切点坐标（e-1，2（e-1）-2ln（e-1））…（12分）
再由点斜式写出方程y-2（e-1）+2ln（e-1）=

2e-4

e-1

（x-e-1），即：y=

2e-4

e-1

x+2-2ln(e-1)，
所以，弦AB的伴随切线l的方程为：y=

2e-4

e-1

x+2-2ln(e-1)．…（13分）