Question

1．已知$sinx+cosy=\frac{1}{3}$，则cosy+sin²x-1的最大值为$\frac{4}{9}$．

Answer 1

分析 由题意：$sinx+cosy=\frac{1}{3}$，可得：cosy=$\frac{1}{3}-sinx$，带入cosy+sin²x-1，利用二次函数是性质求解．

解答 解：由题意：$sinx+cosy=\frac{1}{3}$，
那么：cosy=$\frac{1}{3}-sinx$，
∵-1≤cosy≤1，
∴$-1≤\frac{1}{3}-sinx≤1$，
∴$-\frac{2}{3}$≤sinx≤$\frac{4}{3}$，
则：cosy+sin²x-1=$\frac{1}{3}-sinx+$sin²x-1=sin²x-sinx-$\frac{2}{3}$=（sinx-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{11}{12}$
当sinx=$-\frac{2}{3}$时，cosy+sin²x-1取得最大值$（-\frac{2}{3}-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{11}{12}$=$\frac{4}{9}$．
故答案为：$\frac{4}{9}$．

点评 本题考查三角函数的性质的应用能力和有界限问题．属于中档题．