Question

11．已知{a_n}是等比数列，a₂=$\frac{1}{2}$，a₅=4，则a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=（　　）

• A． $\frac{1}{8}$（2ⁿ-1）
• B． $\frac{1}{24}$（2ⁿ+4）
• C． $\frac{1}{24}$（4ⁿ-1）
• D． $\frac{1}{16}$（4ⁿ-2）

Answer 1

分析 利用等比数列的通项公式可得公比q，再利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．

解答 解：设等比数列{a_n}的公比为q，∵a₂=$\frac{1}{2}$，a₅=4，∴$4=\frac{1}{2}×{q}^{3}$，解得q=2．
∴a_n=$\frac{1}{2}×{2}^{n-2}$=2^n-3，
∴a_na_n+1=2^n-3•2^n-2=2^2n-5．
则a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=$\frac{1}{8}$+2+…+2^2n-5=$\frac{\frac{1}{8}（{4}^{n}-1）}{4-1}$=$\frac{{4}^{n}-1}{24}$．
故选：C．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查推理能力与计算能力，属于中档题．