Question

6．已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2；则棱锥V_O-ABC：V_O-SAB=（　　）

• A． 1：1
• B． 1：2
• C． 2：1
• D． 1：3

Answer 1

分析 根据题意作出图形，设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O₁，则OO₁⊥平面ABC，延长CO₁交球于点D，则SD⊥平面ABC．推导出高SD=2OO₁=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，求出V_S-ABC，V_O-ABC，由V_O-SAB=V_S-ABC-V_O-ABC，能求出棱锥V_O-ABC：V_O-SAB．

解答 解：根据题意作出图形：
设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O₁，则OO₁⊥平面ABC，
延长CO₁交球于点D，则SD⊥平面ABC．
∵CO₁=$\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴OO₁=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴高SD=2OO₁=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∵△ABC是边长为1的正三角形，
∴${S}_{△ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴V_S-ABC=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×\frac{2\sqrt{6}}{3}=\frac{\sqrt{2}}{6}$．
V_O-ABC=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{12}$，
∴V_O-SAB=V_S-ABC-V_O-ABC=$\frac{\sqrt{2}}{6}-\frac{\sqrt{2}}{12}$=$\frac{\sqrt{2}}{12}$，
∴棱锥V_O-ABC：V_O-SAB=1：1．
故选：A．

点评 本题考查两个棱锥的体积的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．