Question

8．已知a、b、c为△ABC的三边，且a为最大边，解方程a（1+x²）+2bx+c（1-x²）=0．

Answer 1

分析 利用余弦定理表示出cosA，分类讨论A为钝角，锐角以及直角，判断cosA的正负，即可确定出方程的解．

解答 解：∵a为△ABC的最大边，即A为最大角，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，
当A为钝角时，cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$＜0，即b²+c²-a²＜0，
方程整理得：（a-c）x²+2bx+a+c=0，
∵△=4b²-4（a+c）（a-c）=4b²-4a²+4c²=4（b²+c²-a²）＜0，
∴方程无解；
当A为锐角时，cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$＞0，即b²+c²-a²＞0，
方程整理得：（a-c）x²+2bx+a+c=0，
∵△=4b²-4（a+c）（a-c）=4b²-4a²+4c²=4（b²+c²-a²）＞0，
∴方程解为x=$\frac{-2b±2\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}}{2（a-c）}$=$\frac{-b±\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}}{a-c}$；
当A为直角时，cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=0，即b²+c²-a²=0，
方程整理得：（a-c）x²+2bx+a+c=0，
∵△=4b²-4（a+c）（a-c）=4b²-4a²+4c²=4（b²+c²-a²）=0，
∴方程解为x₁=x₂=$\frac{-b}{a-c}$．

点评 此题考查了余弦定理，以及根的判别式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．