Question

【题目】已知函数.若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点.

（1）若a，且a≠0，证明：函数有局部对称点；

（2）若函数在定义域内有局部对称点，求实数c的取值范围；

（3）若函数在R上有局部对称点，求实数m的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）（3）

【解析】

（1）若函数有局部对称点,则,即有解,即可求证；

（2）由题可得在内有解,即方程在区间上有解,则,设,利用导函数求得的范围,即可求得的范围；

（3）由题可得在上有解,即在上有解,设,则可变形为方程在区间内有解,进而求解即可.

（1）证明:由得,

代入得,

则得到关于x的方程,由于且,所以,

所以函数必有局部对称点

（2）解:由题,因为函数在定义域内有局部对称点

所以在内有解,即方程在区间上有解,

所以,

设,则,所以

令,则,

当时,,故函数在区间上单调递减,当时,,

故函数在区间上单调递增,

所以,

因为,,所以,所以,

所以

（3）解:由题,,

由于,所以,

所以（*）在R上有解,

令,则,

所以方程（*）变为在区间内有解,

需满足条件：

,即,

得