【题目】在中,
,
分别为
,
的中点,
,如图1.以
为折痕将
折起,使点
到达点
的位置,如图2.
如图1 如图2
(1)证明:平面平面
;
(2)若平面平面
,求直线
与平面
所成角的正弦值。
【答案】(1)见解析;(2)直线与平面
所成角的正弦值为
.
【解析】
(1)在题图1中,可证 ,在题图2中,
平面
.进而得到
平面
.从而证得平面
平面
;
(2)可证得平面
.
.则以
为坐标原点,分别以
,
,
的方向为
轴、
轴、
轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,利用空间向量可求直线
与平面
所成角的正弦值.
(1)证明:在题图1中,因为,且
为
的中点.由平面几何知识,得
.
又因为为
的中点,所以
在题图2中,,
,且
,
所以平面
,
所以平面
.
又因为平面
,
所以平面平面
.
(2)解:因为平面平面
,平面
平面
,
平面
,
.
所以平面
.
又因为平面
,
所以.
以为坐标原点,分别以
,
,
的方向为
轴、
轴、
轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系
在题图1中,设,则
,
,
,
.
则,
,
,
.
所以,
,
.
设为平面
的法向量,
则,即
令,则
.所以
.
设与
平面所成的角为
,
则.
所以直线与平面
所成角的正弦值为
.
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【题目】实数a,b满足ab>0且a≠b,由a、b、、
按一定顺序构成的数列( )
A. 可能是等差数列,也可能是等比数列
B. 可能是等差数列,但不可能是等比数列
C. 不可能是等差数列,但可能是等比数列
D. 不可能是等差数列,也不可能是等比数列
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【题目】在△ABC中,边a、b、c分别是角A、B、C的对边,且满足bcosC=(3a-c)cosB
(1)求cosB
(2)若△ABC的面积为4,b=4
,求△ABC的周长
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【题目】在△ABC中,角A,B,C对应的边分别是a,b,c,已知cos2A﹣3cos(B+C)=1.
(1)求角A的大小;
(2)若△ABC的面积S=5,b=5,求sinBsinC的值.
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【题目】自2017年2月底,90多所自主招生试点高校将陆续出台2017年自主招生简章,某校高三年级选取了在期中考试中成绩优异的100名学生作为调查对象,对是否准备参加2017年的自主招生考试进行了问卷调查,其中“准备参加”“不准备参加”和“待定”的人数如表:
准备参加 | 不准备参加 | 待定 | |
男生 | 30 | 6 | 15 |
女生 | 15 | 9 | 25 |
(1)在所有参加调查的同学中,在三种类型中用分层抽样的方法抽取20人进行座谈交流,则在“准备参加”“不准备参加”和“待定”的同学中应各抽取多少人?
(2)在“准备参加”的同学中用分层抽样方法抽取6人,从这6人中任意抽取2人,求至少有一名女生的概率.
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【题目】如图,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点.求证:
(1)DE=DA;
(2)平面BDM⊥平面ECA;
(3)平面DEA⊥平面ECA.
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【题目】已知数列是首项
的等差数列,设
.
(1)求证:是等比数列;
(2)记,求数列
的前
项和
;
(3)在(2)的条件下,记,若对任意正整数
,不等式
恒成立,求整数
的最大值.
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【题目】如图,四棱锥中,底面
为梯形,
,
.
是
的中点,
底面
,
在平面
上的正投影为点
,延长
交
于点
.
(1)求证:为
中点;
(2)若,
,在棱
上确定一点
,使得
平面
,并求出
与面
所成角的正弦值.
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