Question

【题目】如图，四棱锥中，底面为梯形，，.是的中点，底面，在平面上的正投影为点，延长交于点.

(1)求证：为中点；

(2)若，，在棱上确定一点，使得平面，并求出与面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：

（1）连接OE，可得四边形BCDO是平行四边形，由PO⊥底面ABCD．O在平面PAD上的正投影为点H，可得AD⊥OE，又AO=OD，即可得E为AD中点；（2）以O为原点建立空间直角坐标系，设，∴，∴，又是平面PAB的法向量，求出面PCD的法向量，即可求得OG与面PCD所成角的正弦值．

详解：(1)连结，∵，是中点，，

∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴，

∵平面，平面，∴，

∵在平面的正投影为，∴平面，∴，

又∵，∴平面，∴，

又∵，∴是的中点.

(2)∵，，∴，∵平面，

∴以为原点，，，分别为的正方向建立空间直角坐标系，

∴，，，，∵，，

∴，

∴，∴是的外心，∵，

∴是的重心，∴，

设，∴，∴，

又∵是平面的一个法向量，且平面，

∴，∴，解得，∴，

设是平面的法向量，∵，，

∴，即，取，则，，∴

∴，∴直线与平面所成角的正弦值为.