【题目】某客户准备在家中安装一套净水系统,该系统为三级过滤,使用寿命为十年.如图所示,两个一级过滤器采用并联安装,二级过滤器与三级过滤器为串联安装。
其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现。在使用过程中,一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换(每个滤芯是否需要更换相互独立),三级滤芯无需更换,若客户在安装净水系统的同时购买滤芯,则一级滤芯每个元,二级滤芯每个
元.若客户在使用过程中单独购买滤芯,则一级滤芯每个
元,二级滤芯每个
元。现需决策安装净水系统的同时购滤芯的数量,为此参考了根据
套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表,其中图是根据
个一级过滤器更换的滤芯个数制成的柱状图,表是根据
个二级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表.
二级滤芯更换频数分布表
二级滤芯更换的个数 | ||
频数 |
以个一级过滤器更换滤芯的频率代替
个一级过滤器更换滤芯发生的概率,以
个二级过滤器更换滤芯的频率代替
个二级过滤器更换滤芯发生的概率.
(1)求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为的概率;
(2)记表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的一级滤芯总数,求
的分布列及数学期望;
(3)记,
分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若
,且
,以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据,试确定
,
的值.
【答案】(1);(2)见解析;(3)
=23,
=5.
【解析】
(1)根据图表,若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为,则一级
个滤芯,二级
个滤芯,分别算出相应的概率,一次更换为2个一级滤芯和1个二级滤芯,从而得到概率.
(2)由柱状图,一级过滤器需要更换的滤芯个数,分别得到概率,然后得到可能取的值,算出每种情况的概率,写出分布列及数学期望.
(3)因为且
,则可分为两类,即
和
,分别计算他们的数学期望,然后进行比较,选取较小的一组.
(1)由题意可知,若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为,则该套净水系统中的两个一级过滤器均需更换
个滤芯,二级过滤器需要更换
个滤芯。设“一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为
”为事件
.
因为一个一级过滤器需要更换个滤芯的概率为
,二级过滤器需要更换
个滤芯的概率为
,
所以.
(2)由柱状图可知,
一个一级过滤器需要更换的滤芯个数为,
,
的概率分别为
,
,
.
由题意,可能的取值为
,
,
,
,
,并且
,
,
,
,
.
所以的分布列为
.
(3)【解法一】
因为,
,若
,
,
则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为;
若,
,
则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为
.
故,
的值分别为
,
.
【解法二】
因为,
,若
,
,
设该客户在十年使用期内购买一级滤芯所需总费用为(单位:元),则
.
设该客户在十年使用期内购买二级滤芯所需总费用为(单位:元),则
,
.
所以该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为
.
若,
,
设该客户在十年使用期内购买一级滤芯所需总费用为(单位:元),则
.
设该客户在十年使用期内购买二级滤芯所需总费用为(单位:元),则
.
所以该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为
.
故,
的值分别为
,
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点.求证:
(1)DE=DA;
(2)平面BDM⊥平面ECA;
(3)平面DEA⊥平面ECA.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】伴随着智能手机的深入普及,支付形式日渐多样化,打破了传统支付的局限性和壁垒,有研究表明手机支付的使用比例与人的年龄存在一定的关系,某调研机构随机抽取了50人,对他们一个月内使用手机支付的情况进行了统计,如下表:
(1)若以“年龄55岁为分界点”,由以上统计数据完成下面的列联表,并判断是否有
的把握认为“使用手机支付”与人的年龄有关;
(2)若从年龄在,
内的被调查人中各随机选取2人进行追踪调查,记选中的4人中“使用手机支付”的人数为
.
①求随机变量的分布列;
②求随机变量的数学期望.
参考数据如下:
0.05 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
参考格式:,其中
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【题目】如图,四棱锥中,底面
为梯形,
,
.
是
的中点,
底面
,
在平面
上的正投影为点
,延长
交
于点
.
(1)求证:为
中点;
(2)若,
,在棱
上确定一点
,使得
平面
,并求出
与面
所成角的正弦值.
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【题目】某旅游区每年各个月份接待游客的人数近似地满足周期性规律,因而第个月从事旅游服务工作的人数
可近似地用函数
来刻画,其中正整数
表示月份且
,例如
表示1月份,
和
是正整数,
,
. 统计发现,该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律:
① 每年相同的月份,该地区从事旅游服务工作的人数基本相同;
② 该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差400人;
③ 2月份该地区从事旅游服务工作的人数为100人,随后逐月递增直到8月份达到最多.
(1)试根据已知信息,求的表达式;
(2)一般地,当该地区从事旅游服务工作的人数在400或400以上时,该地区也进入了一年中的旅游“旺季”,那么,一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”?请说明理由.
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【题目】共享单车因绿色、环保、健康的出行方式,在国内得到迅速推广.最近,某机构在某地区随机采访了10名男士和10名女士,结果男士、女士中分别有7人、6人表示“经常骑共享单车出行”,其他人表示“较少或不选择骑共享单车出行”.
(1)从这些男士和女士中各抽取一人,求至少有一人“经常骑共享单车出行”的概率;
(2)从这些男士中抽取一人,女士中抽取两人,记这三人中“经常骑共享单车出行”的人数为,求
的分布列与数学期望.
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【题目】已知椭圆
的长轴长是短轴长的2倍,且过点
.
⑴求椭圆的方程;
⑵若在椭圆上有相异的两点(
三点不共线),
为坐标原点,且直线
,直线
,直线
的斜率满足
.
(ⅰ)求证: 是定值;
(ⅱ)设的面积为
,当
取得最大值时,求直线
的方程.
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【题目】已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)如果对于任意的,
恒成立,求实数
的取值范围;
(III)设函数,
,过点
作函数
的图象的所有切线,令各切点的横坐标按从小到大构成数列
,求数列
的所有项之和的值.
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