Question

【题目】已知函数。

（1）若是曲线的切线,求的值；

（2）若,求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

法一：（1）根据题意，设切点的坐标为（x1，y1），求出函数的导数，由导数的几何意义分析可得，解可得a的值，即可得答案；

（2）根据题意，f（x）≥1+x+lnx即x（e2x﹣a）≥1+x+lnx，结合x的取值范围变形可得a+1≤e2x，设F（x）＝e2x，利用导数分析F（x）在（0，+∞）上的最小值，据此分析可得答案．

法二：（1）同解法一. （2）设，求导后，先研究a=1时导函数的最小值，从而得到结论成立，再研究a>1和a<1时情况，利用变换主元的方法进行放缩后分别说明成立及不成立.

法三：（1）同解法一.

（2）先考查函数，通过导函数证明，利用此引理进行放缩，分 及去证明，分别去证明成立与说明不成立，得到a的范围.

解法一：（1）因为，所以，

设直线与的图象的切点为，

则.①

因为切点既在切线上又在曲线上，所以

由①②③得.

（2）由题意得，即，

因为，所以,

设，则.

考查函数，

因为，所以在单调递增.

又因为，且，

故存在，使得，即，

所以当时，，，单调递减；

当时，，，单调递增.

所以.

由题意得，.令，取对数得，④

由，得，⑤……

由④⑤得，

设函数，则有，

因为在单调递增，

所以，即，

所以，故，解得.

故的取值范围是.

解法二：（1）同解法一.

（2）设，，

则.

①当时，令，

，

设，.因为，

所以在单调递增，又因为，，

故存在，使得，

所以，两边取对数得.,

所以当，，，单调递减.

，，，单调递增.

所以.

即时，有.所以符合题意，

②当时，因为，

所以，

由①知，存在，使得，

所以不符合题意.

③当时，，符合题意.，

综上，的取值范围是.

解法三：（1）同解法一.

（2）考查函数，因为，所以当时，，

当时，；当时，，

所以在单调递减，在单调递增.

所以.

①当，即时，因为，

所以，符合题意；

②当，即时，设，

因为，所以，

令，考察.

因为，所以在单调递增.

因为，，

故存在，使得，即，

所以存在，使得，

因为，故存在，使得，

所以不符合题意.

综上，的取值范围是.