【题目】已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)如果对于任意的,
恒成立,求实数
的取值范围;
(III)设函数,
,过点
作函数
的图象的所有切线,令各切点的横坐标按从小到大构成数列
,求数列
的所有项之和的值.
【答案】(1)增区间为;减区间为
(2)(3)
【解析】
试题分析:(1)求出函数的导函数,由导函数大于0求其增区间,导函数小于0求其减区间;
(2)构造辅助函数,把问题转化为求
时
,然后对k的值进行分类讨论,求k在不同取值范围内时的的最小值,由最小值大于等于0得到k的取值范围;
(3)把的解析式代入
,求出函数
的导函数,设出切点坐标,求出函数在切点处的导数,由点斜式写出切线方程,把M的坐标代入切线方程,得到关于切点横坐标的三角方程,利用函数图象交点分析得到切点的横坐标关于
对称成对出现,最后由给出的自变量的范围得到数列
的所有项之和S的值.
试题分析:⑴
的增区间为
;减区间为
.
⑵令,要使
恒成立,只需当
时,
,令
,则
对
恒成立
在
上是增函数,则
①当时,
恒成立,
在
上为增函数
,
满足题意;
②当时,
在
上有实根
,
在
上是增函数
则当时,
,
不符合题意;
③当时,
恒成立,
在
上为减函数,
不符合题意
,即
.
⑶
设切点坐标为,则切线斜率为
从而切线方程为
令,
,这两个函数的图象均关于点
对称,则它们交点的横坐标也关于
对称,从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列
的项也关于
成对出现,又在
共有1008对,每对和为
.
.
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【题目】某客户准备在家中安装一套净水系统,该系统为三级过滤,使用寿命为十年.如图所示,两个一级过滤器采用并联安装,二级过滤器与三级过滤器为串联安装。
其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现。在使用过程中,一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换(每个滤芯是否需要更换相互独立),三级滤芯无需更换,若客户在安装净水系统的同时购买滤芯,则一级滤芯每个元,二级滤芯每个
元.若客户在使用过程中单独购买滤芯,则一级滤芯每个
元,二级滤芯每个
元。现需决策安装净水系统的同时购滤芯的数量,为此参考了根据
套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表,其中图是根据
个一级过滤器更换的滤芯个数制成的柱状图,表是根据
个二级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表.
二级滤芯更换频数分布表
二级滤芯更换的个数 | ||
频数 |
以个一级过滤器更换滤芯的频率代替
个一级过滤器更换滤芯发生的概率,以
个二级过滤器更换滤芯的频率代替
个二级过滤器更换滤芯发生的概率.
(1)求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为的概率;
(2)记表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的一级滤芯总数,求
的分布列及数学期望;
(3)记,
分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若
,且
,以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据,试确定
,
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知双曲线的右顶点到其一条渐近线的距离等于
,抛物线
的焦点与双曲线
的右焦点重合,则抛物线
上的动点
到直线
和
距离之和的最小值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】设命题p:实数x满足x2﹣4ax+3a2<0(a>0),命题q:实数x满足x2﹣5x+6<0.
(1)若a=1,且p∧q为真命题,求实数x的取值范围;
(2)若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
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【题目】己知函数.
(1)当时,求函数
的图象在
处的切线方程;
(2)求函数的单调区间;
(3)是否存在整数使得函数
的极大值大于零,若存在,求
的最小整数值,若不存在,说明理由.
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【题目】已知抛物线上的点
到焦点
的距离为
.
(1)求,
的值;
(2)设,
是抛物线上分别位于
轴两侧的两个动点,且
,其中
为坐标原点.求证:直线
过定点,并求出该定点的坐标.
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【题目】某省从2021年开始将全面推行新高考制度,新高考“”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科,按照等级赋分计入高考成绩,等级赋分规则如下:从2021年夏季高考开始,高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为
五个等级,确定各等级人数所占比例分别为
,
,
,
,
,等级考试科目成绩计入考生总成绩时,将
至
等级内的考生原始成绩,依照等比例转换法分别转换到
、
、
、
、
五个分数区间,得到考生的等级分,等级转换分满分为100分.具体转换分数区间如下表:
等级 | |||||
比例 | |||||
赋分区间 |
而等比例转换法是通过公式计算:
其中,
分别表示原始分区间的最低分和最高分,
、
分别表示等级分区间的最低分和最高分,
表示原始分,
表示转换分,当原始分为
,
时,等级分分别为
、
假设小南的化学考试成绩信息如下表:
考生科目 | 考试成绩 | 成绩等级 | 原始分区间 | 等级分区间 |
化学 | 75分 |
|
设小南转换后的等级成绩为,根据公式得:
,
所以(四舍五入取整),小南最终化学成绩为77分.
已知某年级学生有100人选了化学,以半期考试成绩为原始成绩转换本年级的化学等级成绩,其中化学成绩获得等级的学生原始成绩统计如下表:
成绩 | 95 | 93 | 91 | 90 | 88 | 87 | 85 |
人数 | 1 | 2 | 3 | 2 | 3 | 2 | 2 |
(1)从化学成绩获得等级的学生中任取2名,求恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率;
(2)从化学成绩获得等级的学生中任取5名,设5名学生中等级成绩不小于96分人数为
,求
的分布列和期望.
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