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【题目】已知函数.

(Ⅰ)求函数的单调区间;

(Ⅱ)如果对于任意的恒成立,求实数的取值范围;

III)设函数 ,过点作函数的图象的所有切线,令各切点的横坐标按从小到大构成数列,求数列的所有项之和的值.

【答案】(1)增区间为;减区间为

(2)(3)

【解析】

试题分析:(1)求出函数的导函数,由导函数大于0求其增区间,导函数小于0求其减区间;
(2)构造辅助函数,把问题转化为求

,然后对k的值进行分类讨论,求k在不同取值范围内时的的最小值,由最小值大于等于0得到k的取值范围;
(3)把的解析式代入 ,求出函数的导函数,设出切点坐标,求出函数在切点处的导数,由点斜式写出切线方程,把M的坐标代入切线方程,得到关于切点横坐标的三角方程,利用函数图象交点分析得到切点的横坐标关于对称成对出现,最后由给出的自变量的范围得到数列的所有项之和S的值.

试题分析:⑴

的增区间为 ;减区间为 .

⑵令,要使恒成立,只需当时,

,令,则恒成立

上是增函数,则

①当时,恒成立,上为增函数满足题意;

②当时,上有实根, 上是增函数

则当时,不符合题意;

③当时,恒成立,上为减函数,

不符合题意

,即.

设切点坐标为,则切线斜率为

从而切线方程为

,这两个函数的图象均关于点对称,则它们交点的横坐标也关于对称,从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列的项也关于成对出现,又在共有1008对,每对和为.

.

练习册系列答案
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二级滤芯更换频数分布表

二级滤芯更换的个数

频数

个一级过滤器更换滤芯的频率代替个一级过滤器更换滤芯发生的概率,以个二级过滤器更换滤芯的频率代替个二级过滤器更换滤芯发生的概率.

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等级

比例

赋分区间

而等比例转换法是通过公式计算:

其中分别表示原始分区间的最低分和最高分,分别表示等级分区间的最低分和最高分,表示原始分,表示转换分,当原始分为时,等级分分别为

假设小南的化学考试成绩信息如下表:

考生科目

考试成绩

成绩等级

原始分区间

等级分区间

化学

75分

等级

设小南转换后的等级成绩为,根据公式得:

所以(四舍五入取整),小南最终化学成绩为77分.

已知某年级学生有100人选了化学,以半期考试成绩为原始成绩转换本年级的化学等级成绩,其中化学成绩获得等级的学生原始成绩统计如下表:

成绩

95

93

91

90

88

87

85

人数

1

2

3

2

3

2

2

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