Question

已知函数f（x）=2^x，x∈R．
（Ⅰ）解方程：f（2x）-f（x+1）=8；
（Ⅱ）设a∈R，求函数g（x）=f（x）+a•4^x在区间[0，1]上的最大值M（a）的表达式；
（Ⅲ）若f（x₁）+f（x₂）=f（x₁）f（x₂），f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）=f（x₁）f（x₂）f（x₃），求x₃的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）所给的方程即 （2^x）²-2•2^x-8=0，可得2^x=4或2^x=-2（舍去），从而求得x的值．
（Ⅱ）由于 g（x）=2^x+a•4^x，x∈[0，1]，令t=2^x，则t∈[1，2]，分①当a=0和②当a≠0两种情况，
分别利用二次函数的性质，求得M（a）的解析式，综合可得结论．

解答：解：（Ⅰ）所给的方程即 （2^x）²-2•2^x-8=0，可得2^x=4或2^x=-2（舍去），
所以x=2．
（Ⅱ）由于 g（x）=2^x+a•4^x，x∈[0，1]，令t=2^x，则t∈[1，2]，
①当a=0时，M（a）=2；
②当a≠0时，令 h(t)=at2+t=a(t+

1

2a

)2-

1

4a

，
若a＞0，则M（a）=h（2）=4a+2，
若a＜0，当0＜-

1

2a

＜1，即a＜-

1

2

时，M（a）=h（1）=a+1，
当-

1

2a

＞2，即-

1

4

＜a＜0时，M（a）=h（2）=4a+2，
当1≤-

1

2a

≤2，即-

1

2

≤a≤-

1

4

时，M(a)=h(-

1

2a

)=-

1

4a

，
综上，M(a)=

4a+2，a＞- 1 4 a+1，a＜- 1 2 - 1 4a ，- 1 2 ≤a≤- 1 4

．

（Ⅲ）由题意知：

2x1+2x2=2x1+x2 2x1+2x2+2x3=2x1+x2+x3

，化简可得2x1+x2+2x3=2x1+x2•2x3，
所以2x3=

2x1+x2

2x1+x2-1

=

t

t-1

，
其中t=2x1+x2=2x1+2x2≥2

2x1+x2

=2

t

，所以t≥4，
由2x3=

t

t-1

=

1

1- 1 t

知2x3的最大值是

4

3

，又y=2^x单调递增，
所以x3=log2

4

3

=2-log23．

点评：本题主要考查指数函数的性质综合应用，体现了转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题．