Question

已知函数y=f（x）是奇函数，在（0，+∞）内是减函数，且f（x）＜0，试问：F（x）=在（-∞，0）内单调性如何？并证明之

Answer 1

解：∴F（x）=在（-∞，0）上是增函数
证明：设x₁＜x₂＜0，则-x₁＞-x₂＞0
∵f（x）在（0，+∞）内是减函数且f（x）＜0，
∴f（-x₁）＜f（-x₂）＜0
∵函数y=f（x）是奇函数
∴-f（x₁）＜-f（x₂）＜0即f（x₁）＞f（x₂）＞0
∴F（x₁）-F（x₂）=
∴F（x）=在（-∞，0）上是增函数
分析：先设x₁＜x₂＜0，则-x₁＞-x₂＞0，再由f（x）在（0，+∞）内是减函数且f（x）＜0，得到f（-x₁）＜f（-x₂）＜0，再由奇函数
得到f（x₁）＞f（x₂）可得到是增函数．
点评：本题主要考查用单调性来证明对称区间上单调性，在这里用奇偶性来转化是问题的关键．