Question

（2010•南宁二模）球面上三点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的

1

4

，若经过三点的小圆的面积为2π，则球的体积为（　　）

• A．2

  3

  π
• B．4

  3

  π
• C．

  3

  π
• D．5

  3

  π

Answer 1

分析：设球面上三点分别为A，B，C．因为正三角形ABC的外径r=

2

，故可以得到高，D是BC的中点．在△OBC中，又可以得到角以及边与R的关系，在Rt△ABD中，再利用直角三角形的勾股定理，即可解出R，最后利用体积公式求出球的体积即可．

解答：解：设球面上三点分别为A，B，C．
因为正三角形ABC的外接圆的半径r=

2

，故高AD=

3

2

r=

3

2

2

，D是BC的中点．
在△OBC中，BO=CO=R，∠BOC=

π

2

，所以BC=BO=

2

R，BD=

1

2

BC=

2

2

R．
在Rt△ABD中，AB=BC=

2

R，所以由AB²=BD²+AD²，得2R²=

1

2

R²+9，所以R=

3

．
∴V=

4π

3

(

3

)3=4

3

π
故选B．

点评：本题考查学生的空间想象能力，以及对球的性质认识及利用，球的体积和表面积是常考的题型，是基础题．