Question

（08年安庆市二模）（14分）若，分别为双曲线的左右焦点，O为坐标原点，P在双曲线的左支上，M在右准线上，且满足，

（1）求此双曲线的离心率；

（2）若此双曲线过点，求该双曲线的方程；

（3）设（2）中双曲线的虚轴端点为、（在y轴正半轴上），是否存在经过点的直线l与双曲线交于A，B两点，且以AB为直径的圆过点？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解析：（1）由知，四边形PF₁OM为平行四边形，又由知其为菱形，设半焦距为c，由

又舍去）…………………4分

（2）因为，所以c= 2a. 设双曲线方程为，将点（2，）代入得，

即所求的双曲线方程为 …………………………………………………8分

（3）依题意得B₁（0，3），B₂（0，-3），假设满足条件的直线存在，显然斜率存在，设方程为.因为双曲线的渐近线为时,AB与双曲线只有一个交点，

所以，因为

又因为以线段AB为直径的圆过点B₁，所以

于是，所以.

故满足条件的直线存在，其方程为…………………14分