Question

已知f（x）是定义在R上的且以2为周期的偶函数，当0≤x≤1时，f（x）=x²，如果直线y=x+a与曲线y=f（x）恰有两个不同的交点，则实数a的值为（　　）

• A、2k（k∈Z）
• B、2k或2k+

  1

  4

  （k∈Z）
• C、0
• D、2k或2k-

  1

  4

  （k∈Z）

Answer 1

分析：先求出-1≤x≤0时f（x）的解析式，即得x∈[-1，1]时f（x）的解析式，再据周期性可得 x∈[2k-1，2k+1]时f（x）的解析式，如图，直线y=x+a的斜率为1，在y轴上的截距等于a，故直线过顶点或与曲线相切时，满足条件．

解答：解：设-1≤x≤0，则  0≤-x≤1，f（-x）=（-x）²=x²=f（x），
综上，f（x）=x²，x∈[-1，1]，f（x）=（x-2k）²，x∈[2k-1，2k+1]，
由于直线y=x+a的斜率为1，在y轴上的截距等于a，在一个周期[-1，1]上，
a=0时 满足条件，a=-

1

4

时，在此周期上直线和曲线相切，
并和曲线在下一个区间上图象
有一个交点，也满足条件． 由于f（x）的周期为2，
故在定义域内，满足条件的a 应是 2k+0 或 2k-

1

4

，k∈Z．
故选 D．

点评：本题考查函数的周期性、奇偶性、求函数的解析式，体现了数形结合的数学思想．