Question

设a＞b＞1，0＜c≠1，且a，

10

，b成等比数列，试比较log_ac+log_bc与4lgc的大小，并说明理由．

Answer 1

分析：设m=log_ac+log_bc-4lgc，利用a，

10

，b成等比数列，可求得m=

lgc

lgalgb

（1-4lgalgb），利用基本不等式lgalgb＜

(lga+lgb)2

4

=

1

4

，可知1-4lgalgb＞0，再通过对c的范围的讨论，即可比较log_ac+log_bc与4lgc的大小．

解答：设m=log_ac+log_bc-4lgc=

lgc

iga

+

lgc

igb

-4lgc=lgc•

(lga+lgb-4lgalgb)

lgalgb

由a，

10

，b成等比数列，知ab=10
∴m=

lgc

lgalgb

（1-4lgalgb）
由a＞b＞1，知lga＞lgb＞0，
又lgalgb＜

(lga+lgb)2

4

=

1

4

，
∴1-4lgalgb＞0…（9分）
∴当0＜c＜1时，m＜0即log_ac+log_bc＜4lgc，
当c＞1时，m＞0即，log_ac+log_bc＞4lgc．

点评：本题考查比较大小，突出考查作差法的应用，考查基本不等式与分类讨论思想的综合应用，属于中档题．