Question

6．若数列{a_n}中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{a_n}为“等比源数列”
（1）已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=2a_n-1．
①求{a_n}的通项公式；
②试判断{a_n}是否为“等比源数列”，并证明你的结论．
（2）已知数列{a_n}为等差数列，且a₁≠0，a_n∈Z（n∈N^*），求证：{a_n}为“等比源数列”

Answer 1

分析 （1）①由a_n+1=2a_n-1，可得a_n+1-1=2（a_n-1），利用等比数列的通项公式即可得出．
②假设{a_n}为“等比源数列”，则此数列中存在三项：a_k＜a_m＜a_n，k＜m＜n．满足${a}_{m}^{2}$=a_ka_n，代入化为：2^m-k+1（2^m-2+1）=2^n-1+2^n-k+1，利用数的奇偶性即可得出．
（2）设等差数列{a_n}的公差为d，假设存在三项使得${a}_{n}^{2}={a}_{k}{a}_{m}$，（k＜n＜m）．展开：2a₁（n-1）+（n-1）²d=a₁[（k-1）+（m-1）]+（k-1）（m-1）d，当n-1既是（k-1）与m-1的等比中项，又是（k-1）与m-1的等差中项时，原命题成立．

解答 解：（1）①∵a_n+1=2a_n-1，∴a_n+1-1=2（a_n-1），
∴数列{a_n-1}是等比数列，首项为1，公比为2．
∴a_n-1=2^n-1，
∴a_n=2^n-1+1．
②假设{a_n}为“等比源数列”，
则此数列中存在三项：a_k＜a_m＜a_n，k＜m＜n．
满足${a}_{m}^{2}$=a_ka_n，
∴（2^m-1+1）²=（2^k-1+1）（2^n-1+1），
化为：2^2m-2+2^m=2^k+n-2+2^n-1+2^k-1，
∴2^m-k+1（2^m-2+1）=2^n-1+2^n-k+1，
可知：左边为偶数，而右边为奇数，因此不可能成立．
故{a_n}不是“等比源数列”．
（2）设等差数列{a_n}的公差为d，
则a_n=a₁+（n-1）d，a₁≠0，a_n∈Z（n∈N^*），
假设存在三项使得${a}_{n}^{2}={a}_{k}{a}_{m}$，（k＜n＜m）．
∴$[{a}_{1}+（n-1）d]^{2}$=[a₁+（k-1）d][a₁+（m-1）d]，
展开：2a₁（n-1）+（n-1）²d=a₁（k-1）+（m-1）+（k-1）（m-1）d，
当n-1既是（k-1）与m-1的等比中项，又是（k-1）与m-1的等差中项时，原命题成立．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质、新定义“等比源数列”，考查了推理能力与计算能力，属于难题．