Question

18．关于x的一元二次方程x²+2（m+3）x+2m+14=0有两个不同的实根，且一根大于3，一根小于1，则m的取值范围是（-∞，-$\frac{21}{4}$）．

Answer 1

分析 若关于x的一元二次方程x²+2（m+3）x+2m+14=0有两个不同的实根，且一根大于3，一根小于1，则函数f（x）=x²+2（m+3）x+2m+14的两个零点一个大于3，一个小于1，由函数f（x）=x²+2（m+3）x+2m+14的图象是开口朝上的抛物线，可得$\left\{\begin{array}{l}f（3）＜0\\ f（1）＜0\end{array}\right.$，进而可得m的取值范围．

解答 解：若关于x的一元二次方程x²+2（m+3）x+2m+14=0有两个不同的实根，且一根大于3，一根小于1，
则函数f（x）=x²+2（m+3）x+2m+14的两个零点一个大于3，一个小于1，
由函数f（x）=x²+2（m+3）x+2m+14的图象是开口朝上的抛物线，
故$\left\{\begin{array}{l}f（3）＜0\\ f（1）＜0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}8m+41＜0\\ 4m+21＜0\end{array}\right.$，
解得：m∈（-∞，-$\frac{21}{4}$），
故答案为：（-∞，-$\frac{21}{4}$）

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，方程根与函数零点的关系，难度中档．