Question

13．在△ABC中，若BC=2，sinA=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的最大值为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{4}{5}$
• C． 1
• D． 3

Answer 1

分析 对式子$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$两边平方便可得到$4={\overrightarrow{AC}}^{2}+{\overrightarrow{AB}}^{2}-2|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AB}|cosA$，而由条件可求的cosA=$±\frac{1}{3}$，根据题意取cosA=$\frac{1}{3}$，将其代入上式，结合不等式a²+b²≥2ab即可求出$|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AB}|$的最大值，从而得出$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$的最大值．

解答 解：如图，
$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$；
${\overrightarrow{BC}}^{2}={\overrightarrow{AC}}^{2}+{\overrightarrow{AB}}^{2}-2|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AB}|cosA$；
∵$sinA=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，∴$cosA=±\frac{1}{3}$；
∵是求$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$的最大值；
∴取cosA=$\frac{1}{3}$；
此时，4=${\overrightarrow{AC}}^{2}+{\overrightarrow{AB}}^{2}-\frac{2}{3}|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AB}|$；
∴$4+\frac{2}{3}|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AB}|={\overrightarrow{AC}}^{2}+{\overrightarrow{AB}}^{2}$$≥2|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AB}|$；
∴$|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AB}|≤3$；
∴$cosA=\frac{1}{3}$时，$|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AB}|$取最大值3，此时$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$取到最大值；
∴且$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AB}|cosA=1$；
即$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$的最大值为1．
故选C．

点评 考查向量减法的几何意义，数量积的运算及其计算公式，sin²α+cos²α=1，以及不等式a²+b²≥2ab用于求最值．