Question

8．函数f（x）=asinωx+bcosωx+2（ab≠0，ω＞0）的周期为π，且f（x）的最大值为5，又f（$\frac{π}{6}$）=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$+2，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 首先，利用辅助角公式将所给函数解析式进行化简，然后，结合三角函数的性质进行建立等式求解．

解答 解：f（x）=asinωx+bcosωx+2
=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}sin（ωx+θ）+2$，
∵T=$\frac{2π}{ω}=π$，
∴ω=2，
∵f（x）的最大值为5，
∴$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=3$
∵f（$\frac{π}{6}$）=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$+2，
∴asin$\frac{π}{3}$+bcos$\frac{π}{3}$+2=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$+2，
∴解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{2}}\\{b=\frac{3\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=0}\end{array}\right.$（舍去），
∴f（x）=$\frac{3}{2}sin2x+\frac{3\sqrt{3}}{2}cos2x+2$．

点评 本题重点考查了三角函数的图象与性质，辅助角公式等知识，属于中档题．