Question

如图，梯形ABCD中，AB=BC=1，AD=2，∠CBA=∠BAD=90°，沿对角线AC将△ABC折起，使点B在平面ACD内的射影O恰在AC上，
（Ⅰ）求证：AB⊥平面BCD；
（Ⅱ）求异面直线BC与AD所成的角；
（Ⅲ）求二面角B-AD-C的余弦值。

Answer 1

解：（Ⅰ）在梯形ABCD 中，，
∴，
∴，
又，
∴BO⊥AC，
又AB=CB，
∴O为AC中点，
以O为坐标原点，以OA，OB所在直线分别为x，z轴，以过O且平行于CD的直线为y轴建立空间直角坐标系，
则，
∴，
∴AB⊥CD，
又AB⊥BC，
∴AB⊥平面BCD。
（Ⅱ），
∴，
∴，
即异面直线BC与AD所成的角为60°。
（Ⅲ）平面ACD的法向量为，设平面ABD的法向量为，
则，
解得，
取z=1，
∴，
设二面角B-AD-C的平面角为θ，
则。