Question

已知数列是等差数列，（）.
（Ⅰ）判断数列是否是等差数列，并说明理由；
（Ⅱ）如果，（为常数），试写出数列的通项公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若数列得前项和为，问是否存在这样的实数，使当且仅当时取得最大值.若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）数列是等差数列；（Ⅱ）；（Ⅲ）或.

解析试题分析：（Ⅰ）等差数列的证明一般是从定义出发，注意若用为常数，则需且；若用若用则为常数，则需.（Ⅱ）因为，所以求数列的通项公式，关键是先求出等差数列的通项公式，即求出，这样就必须建立关于的两个方程，求出，显然必须从条件提供的两个等式出发去求解，注意求解的技巧；（Ⅲ）关于等差数列前项和的最值问题，通常有两个思路，其一，从求和公式考虑，因为求和公式是关于的二次式，可以结合二次函数知识解决问题，但要注意数列自身的特点，即；其二，从通项考虑，看何时变号.此题从通项考虑比较好.
试题解析：（Ⅰ）设的公差为，则
数列是以为公差的等差数列.
（Ⅱ）    
两式相减：
， 


（Ⅲ）因为当且仅当时最大
有，，
即
由解得或；由解得或，
综合得或.
考点：等差数列的定义及求和、求通项.