Question

14．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2ⁿ，a_n），$\overrightarrow{b}$=（a_n+1，2ⁿ⁺¹），（n∈N^*），且a₁=1，若$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$共线．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）通过$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$共线可知$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}×\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}=1$，从而数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}中奇数项为$\frac{1}{2}$，偶数项为2，即得结论；
（2）结合（1），可得数列{a_n}中所有的奇数项构成一个以1为首项、4为公比的等比数列，数列{a_n}中的偶数项构成一个以2³为首项、4为公比的等比数列，对n分奇、偶数讨论即得S_n．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$共线，向量$\overrightarrow{a}$=（2ⁿ，a_n），$\overrightarrow{b}$=（a_n+1，2ⁿ⁺¹），
∴2ⁿ×2ⁿ⁺¹=a_n×a_n+1，
变形，得$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}×\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}=1$，
∵a₁=1，∴$\frac{{a}_{1}}{2}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{{2}^{1}}×\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}=1$，即$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}=2$，故${a}_{2}={2}^{3}$，
∴$\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}=\frac{1}{2}$，故${a}_{3}={2}^{2}$，
∴$\frac{{a}_{4}}{{2}^{4}}=2$，故${a}_{4}={2}^{5}$，
…
所以数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}中奇数项为$\frac{1}{2}$，偶数项为2，
故a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{2（k-1）}，}&{n=2k-1}\\{{2}^{2k+1}，}&{n=2k}\end{array}\right.$，k∈N^*；
（2）由（1）知，①当n=2k-1 （k∈N^*）时，
数列{a_n}是以1为首项，4为公比的等比数列，
故前k项和T_k=$\frac{1×（1-{4}^{k}）}{1-4}$=$\frac{{4}^{k}-1}{3}$；
②当n=2k（k∈N^*）时，
数列{a_n}是以2³为首项，4为公比的等比数列，
故前k项和Q_k=$\frac{{2}^{3}×（1-{4}^{k}）}{1-4}$=$\frac{8}{3}（{4}^{k}-1）$；
所以S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{4}^{k}-1}{3}+\frac{8}{3}（{4}^{k-1}-1），}&{n=2k-1}\\{\frac{{4}^{k}-1}{3}+\frac{8}{3}（{4}^{k}-1），}&{n=2k}\end{array}\right.$，
化简，得S_n=$\left\{\begin{array}{l}{{4}^{k}-3，}&{n=2k-1}\\{3×（{4}^{k}-1），}&{n=2k}\end{array}\right.$．

点评 本题考查向量的共线，数列的通项公式、前n项和，考查分类讨论的思想，考查分析能力和计算能力，注意解题方法的积累，属于难题．