Question

【题目】已知：函数f（x）＝2lnx﹣ax2+3x，其中a∈R．

（1）若f（1）＝2，求函数f（x）的最大值；

（2）若a＝﹣1，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）＝0，证明：．

Answer 1

【答案】（1）f（x）max＝2ln2+2（2）证明见解析

【解析】

（1）计算得到，求导得到函数的单调区间，再计算最大值得到答案.

（2）代入数据得到，得到，设得到函数的最小值得到不等式（x1+x2）2+3（x1+x2）≥2，计算得到答案.

（1）∵f（1）＝2，∴﹣a+3＝2，∴a＝1，∴f（x）＝2lnx﹣x2+3x，

∴f'（x）2x+3，

由f'（x）＞0得，0＜x＜2，有f'（x）＜0得，x＞2，

∴f（x）在（0，2）为增函数，在（2，+∞）为减函数，

∴f（x）max＝f（2）＝2ln2+2；

（2）证明：当a＝﹣1，f（x）＝2lnx+x2+3x，

∵f（x1）+f（x2）＝2lnx1+x12+3x1+2lnx2+x22+3x2＝0，

∴（x1+x2）2+3（x1+x2）＝2（x1x2﹣lnx1x2），

令h（t）＝t﹣lnt，∴h'（t）＝1，

由h'（x）＞0得，t＞1，由h'（x）＜0得，0＜t＜1，

∴h（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，

∴h（x）min＝h（1）＝1，∴（x1+x2）2+3（x1+x2）≥2，

∴（x1+x2）2+3（x1+x2）﹣2≥0，

解得：．