Question

【题目】已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），直线l交C于A，B两点，且A，B两点与原点不重合，点M（1，2）为线段AB的中点．

（1）若直线l的斜率为1，求抛物线C的方程；

（2）分别过A，B两点作抛物线C的切线，若两条切线交于点S，证明点S在一条定直线上．

Answer 1

【答案】（1）x2＝2y（2）证明见解析

【解析】

（1）设直线的方程为，代入抛物线方程，消去，设，，，，运用韦达定理，以及中点坐标公式，可得，即可得到所求抛物线方程；

（2）求得的导数，可得抛物线在，处的切线的斜率，由点斜式方程和点，满足抛物线方程，可得在，处的切线方程，联立两切线方程，相加，结合中点坐标公式，即可得到所求点所在的定直线方程．

解：（1）设直线的方程为，代入抛物线，

可得，

设，，则，

点为线段的中点，可得，即，

则抛物线的方程为；

（2）证明：设，，点为线段的中点，

可得，，

由的导数为，可得抛物线在处的切线斜率为，切线方程为，

由，可得，①

同理可得，②

①②可得，

即为，即．

可得交点在一条定直线上．