【题目】已知抛物线C:x2=2py(p>0),直线l交C于A,B两点,且A,B两点与原点不重合,点M(1,2)为线段AB的中点.
(1)若直线l的斜率为1,求抛物线C的方程;
(2)分别过A,B两点作抛物线C的切线,若两条切线交于点S,证明点S在一条定直线上.
【答案】(1)x2=2y(2)证明见解析
【解析】
(1)设直线的方程为
,代入抛物线方程,消去
,设
,
,
,
,运用韦达定理,以及中点坐标公式,可得
,即可得到所求抛物线方程;
(2)求得的导数,可得抛物线在
,
处的切线的斜率,由点斜式方程和点
,
满足抛物线方程,可得在
,
处的切线方程,联立两切线方程,相加,结合中点坐标公式,即可得到所求点
所在的定直线方程.
解:(1)设直线的方程为
,代入抛物线
,
可得,
设,
,则
,
点为线段
的中点,可得
,即
,
则抛物线的方程为;
(2)证明:设,
,点
为线段
的中点,
可得,
,
由的导数为
,可得抛物线在
处的切线斜率为
,切线方程为
,
由,可得
,①
同理可得,②
①②可得
,
即为,即
.
可得交点在一条定直线
上.
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【题目】如图是2017年第一季度五省GDP情况图,则下列陈述中不正确的是( )
A.2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省.
B.与去年同期相比,2017年第一季度的GDP总量实现了增长.
C.2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个
D.去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元.
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【题目】已知动圆在圆
:
外部且与圆
相切,同时还在圆
:
内部与圆
相切.
(1)求动圆圆心的轨迹方程;
(2)记(1)中求出的轨迹为,
与
轴的两个交点分别为
、
,
是
上异于
、
的动点,又直线
与
轴交于点
,直线
、
分别交直线
于
、
两点,求证:
为定值.
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【题目】已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为Tn,a1=﹣1,b1=1,a2+b2=2.
(1)若a3+b3=5,求{bn}的通项公式;
(2)若T3=21,求S3.
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【题目】某校为提高学生的身体素质,实施“每天一节体育课”,并定期对学生进行体能测验在一次体能测验中,某班甲、乙、丙三位同学的成绩(单位:分)及班内排名如表(假定成绩均为整数)现从该班测验成绩为94和95的同学中随机抽取两位,这两位同学成绩相同的概率是( )
成绩/分 | 班内排名 | |
甲 | 95 | 9 |
乙 | 94 | 11 |
丙 | 93 | 14 |
A.0.2B.0.4C.0.5D.0.6
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【题目】已知:函数f(x)=2lnx﹣ax2+3x,其中a∈R.
(1)若f(1)=2,求函数f(x)的最大值;
(2)若a=﹣1,正实数x1,x2满足f(x1)+f(x2)=0,证明:.
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【题目】设为正整数,各项均为正整数的数列
定义如下:
,
(1)若,写出
,
,
;
(2)求证:数列单调递增的充要条件是
为偶数;
(3)若为奇数,是否存在
满足
?请说明理由.
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【题目】已知无穷数列的各项都是正数,其前
项和为
,且满足:
,
,其中
,常数
.
(1)求证:是一个定值;
(2)若数列是一个周期数列(存在正整数
,使得对任意
,都有
成立,则称
为周期数列,
为它的一个周期),求该数列的最小周期;
(3)若数列是各项均为有理数的等差数列,
(
),问:数列
中的所有项是否都是数列
中的项?若是,请说明理由;若不是,请举出反例.
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