Question

【题目】设为正整数，各项均为正整数的数列定义如下： ，

（1）若，写出，，；

（2）求证：数列单调递增的充要条件是为偶数；

（3）若为奇数，是否存在满足？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）证明见解析；（3）存在，理由见解析．

【解析】

（1）时，结合条件，注意求得，，；

（2）根据与零的关系，判断数列单调递增的充要条件；

（3）存在满足.

（1），，．

（2）先证“充分性”．

当为偶数时，若为奇数，则为奇数．

因为为奇数，所以归纳可得，对，均为奇数，则，

所以，

所以数列单调递增．

再证“必要性”．

假设存在使得为偶数，则，与数列单调递增矛盾，

因此数列中的所有项都是奇数．

此时，即，所以为偶数．

（3）存在满足，理由如下：

因为，为奇数，所以且为偶数，．

假设为奇数时， ；为偶数时，．

当为奇数时，，且为偶数；

当为偶数时，．

所以若为奇数，则；若为偶数，则．

因此对都有．

所以正整数数列中的项的不同取值只有有限个，所以其中必有相等的项．

设集合，设集合．

因为，所以．

令是中的最小元素，下面证．

设且．

当时，，，所以；

当时，，，所以．

所以若，则且，与是中的最小元素矛盾．

所以，且存在满足，即存在满足．