Question

【题目】已知数列中，已知，对任意都成立，数列的前n项和为．

（1）若是等差数列，求k的值；

（2）若，，求；

（3）是否存在实数k，使数列是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项，，按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2），（3）存在实数k满足题意，

【解析】

（1）由等差数列可得,即,进而得到；

（2）将代回可得,进而得到,然后分为奇数与偶数求得即可；

（3）由等比数列可得,分别令,,为等差中项求得,进而求出即可

解：（1）若是等差数列,则对任意,,即,

所以,故

（2）当时,,即,

所以,故,

所以,当n是偶数时,

,

当n是奇数时,,

,

综上,,

（3）存在,,

设是等比数列,则公比,由题意,

所以,,,

①若为等差中项,则,即,即,

解得,不符合题意；

②若为等差中项,则,即,即,

解得或（舍）,所以；

③若为等差中项,则,即,即，

解得或（舍）,所以；

综上,存在实数k满足题意,