【题目】已知动圆在圆
:
外部且与圆
相切,同时还在圆
:
内部与圆
相切.
(1)求动圆圆心的轨迹方程;
(2)记(1)中求出的轨迹为,
与
轴的两个交点分别为
、
,
是
上异于
、
的动点,又直线
与
轴交于点
,直线
、
分别交直线
于
、
两点,求证:
为定值.
【答案】(1);(2)详见解析.
【解析】
(1)由直线与圆相切,则,则
点的轨迹是以
,
为焦点的椭圆,即可求得椭圆方程;
(2)方法一:设,分别求得直线
的方程,直线
的方程,分别求得点
和
的坐标,则
,即可求得
为定值;
方法二:设直线的斜率为
,直线
的斜率为
,联立直线
的方程与直线
的方程,求出点
坐标,将点
坐标代入椭圆方程,即可求得
,
为定值.
(1)设动圆的半径为
,由已知得
,
,
,
点的轨迹是以
,
为焦点的椭圆,
设椭圆方程:(
),则
,
,则
,
方程为:;
(2)解法一:设 ,由已知得
,
,则
,
,
直线的方程为:
,
直线的方程为:
,
当时,
,
,
,
又满足
,
,
为定值.
解法二:由已知得,
,设直线
的斜率为
,直线
的斜率为
,由已知得,
,
存在且不为零,
直线
的方程为:
,
直线的方程为:
,
当时,
,
,
,
联立直线和直线
的方程,可得
点坐标为
,
将点坐标代入椭圆方程
中,得
,
即,
整理得 ,
,
,
为定值.
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【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2an-1(n∈N*),数列{bn}满足nbn+1-(n+1)bn=n(n+1)(n∈N*),且b1=1.
(1)证明数列{}为等差数列,并求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)若cn=(-1)n-1,求数列{cn}的前n项和T2n;
(3)若dn=an,数列{dn}的前n项和为Dn,对任意的n∈N*,都有Dn≤nSn-a,求实数a的取值范围.
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【题目】为了迎接2019年全国文明城市评比,某市文明办对市民进行了一次文明创建知识的网络问卷调查.每一位市民有且仅有一次参加机会,通过随机抽样,得到参加问卷调查的1000人的得分(满分:100分)数据,统计结果如下表所示:
组别 | |||||||
频数 | 25 | 150 | 200 | 250 | 225 | 100 | 50 |
(1)由频数分布表可以认为,此次问卷调查的得分服从正态分布
,
近似为这1000人得分的平均值(同一组数据用该组区间的中点值作为代表),请利用正态分布的知识求
;
(2)在(1)的条件下,文明办为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案:
(i)得分不低于的可以获赠2次随机话费,得分低于
的可以获赠1次随机话费;
(ii)每次获赠的随机话费和对应的概率为:
获赠的随机话费(单位:元) | 20 | 40 |
概率 |
现市民小王要参加此次问卷调查,记(单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求
的分布列及数学期望.
附:①;
②若,则
,
,
.
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【题目】已知点是抛物线
上一点,
为
的焦点.
(1)若,
是
上的两点,证明:
,
,
依次成等比数列.
(2)过作两条互相垂直的直线与
的另一个交点分别交于
,
(
在
的上方),求向量
在
轴正方向上的投影的取值范围.
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【题目】某厂销售部以箱为单位销售某种零件,每箱的定价为元,低于
箱按原价销售,不低于
箱则有以下两种优惠方案:①以
箱为基准,每多
箱送
箱;②通过双方议价,买方能以优惠
成交的概率为
,以优惠
成交的概率为
.
甲、乙两单位都要在该厂购买
箱这种零件,两单位都选择方案②,且各自达成的成交价格相互独立,求甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率;
某单位需要这种零件
箱,以购买总价的数学期望为决策依据,试问该单位选择哪种优惠方案更划算?
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【题目】已知离心率为2的双曲线的一个焦点
到一条渐近线的距离为
.
(1)求双曲线的方程;
(2)设分别为
的左右顶点,
为
异于
一点,直线
与
分别交
轴于
两点,求证:以线段
为直径的圆
经过两个定点.
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【题目】在平面直角坐标系中,MBC顶点的坐标为A(-1,2),B(1,4),C(3,2).
(1)求ΔABC外接圆E的方程;
(2)若直线经过点(0,4),且与圆E相交所得的弦长为
,求直线
的方程;
(3)在圆E上是否存在点P,满足,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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