【题目】已知函数,其导函数
的最大值为
.
(1)求实数的值;
(2)若,证明:
.
【答案】(1);(2)见解析
【解析】
(1)先对求导,然后根据导数形式对
进行分类讨论,通过导函数
最大值为0,求得
的值.
(2)要证,则需证
,再利用
的单调性,证
,利用条件把
换掉,构造函数
证明,对
求导,研究其单调性和极值,得到结论.
(1)由题意,函数的定义域为
,其导函数
记则
.
当时,
恒成立,所以
在
上单调递增,且
.
所以,有
,故
时不成立;
当时,若
,则
;若
,则
.
所以在
单调递增,在
单调递减。
所以.
令,则
.
当时,
;当
时,
.所以
在
的单减,在
单增.
所以,故
.
(2)当时,
,则
.
由(1)知恒成立,
所以在
上单调递减,
且,
不妨设,则
,
欲证,只需证
,因为
在
上单调递减,
则只需证,又因为
,
则只需证,即
.
令(其中
),且
.
所以欲证,只需证
,
由,
整理得:,
,
所以在区间
上单调递增,
所以,
,
所以函数在区间
上单调递减,
所以有,
,故
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某小学举办“父母养育我,我报父母恩”的活动,对六个年级(一年级到六年级的年级代码分别为1,2…,6)的学生给父母洗脚的百分比y%进行了调查统计,绘制得到下面的散点图.
(1)由散点图看出,可用线性回归模型拟合y与x的关系,请用相关系数加以说明;
(2)建立y关于x的回归方程,并据此预计该校学生升入中学的第一年(年级代码为7)给父母洗脚的百分比.
附注:参考数据:
参考公式:相关系数,若r>0.95,则y与x的线性相关程度相当高,可用线性回归模型拟合y与x的关系.回归方程
中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为
=
,
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】定义在上的函数
,
单调递增,
,若对任意
,存在
,使得
成立,则称
是
在
上的“追逐函数”.若
,则下列四个命题:①
是
在
上的“追逐函数”;②若
是
在
上的“追逐函数”,则
;③
是
在
上的“追逐函数”;④当
时,存在
,使得
是
在
上的“追逐函数”.其中正确命题的个数为( )
A. ①③B. ②④C. ①④D. ②③
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知动圆在圆
:
外部且与圆
相切,同时还在圆
:
内部与圆
相切.
(1)求动圆圆心的轨迹方程;
(2)记(1)中求出的轨迹为,
与
轴的两个交点分别为
、
,
是
上异于
、
的动点,又直线
与
轴交于点
,直线
、
分别交直线
于
、
两点,求证:
为定值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某兴趣小组有男生20人,女生10人,从中抽取一个容量为5的样本,恰好抽到2名男生和3名女生,则
①该抽样可能是系统抽样;
②该抽样可能是随机抽样:
③该抽样一定不是分层抽样;
④本次抽样中每个人被抽到的概率都是.
其中说法正确的为( )
A.①②③B.②③C.②③④D.③④
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