Question

【题目】如图，在六面体中，平面平面，平面，，，且.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）设DG的中点为M，连结AM，FM，则DEFM是平行四边形，从而MF∥DE，且MF＝DE，进而AB∥DE，推导出四边形ABFM是平行四边形，从而BF∥AM，由此能证明BF∥平面ACGD．

（2）以DE，DG，DA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣CG﹣F的余弦值．

（1）证明：设的中点为，连接，则是平行四边形，

所以且，因为平面平面，

又平面平面，平面平面，

所以，因为，所以且，

所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，

故平面.

（2）由题意可得：两两垂直，故以分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，令，

则，，，，，，

所以，设平面的法向量，则

，令，则，

因为平面的法向量，

所以

由于所求二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.