Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2an-1（n∈N*），数列{bn}满足nbn+1-（n+1）bn=n（n+1）（n∈N*），且b1=1．

（1）证明数列{}为等差数列，并求数列{an}和{bn}的通项公式；

（2）若cn=（-1）n-1，求数列{cn}的前n项和T2n；

（3）若dn=an，数列{dn}的前n项和为Dn，对任意的n∈N*，都有Dn≤nSn-a，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析，an=2n-1，bn=n2 （2） （3）（-∞，0]

【解析】

（1）Sn＝2an﹣1（n∈N*），n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2an﹣1﹣（2an﹣1﹣1），化为：an＝2an﹣1．利用等比数列的通项公式可得an．数列{bn}满足nbn+1﹣（n+1）bn＝n（n+1）（n∈N*），化为：1，且b1＝1．即可证明数列{}为等差数列，利用通项公式可得bn．

（2）cn＝（﹣1）n﹣1（﹣1）n﹣1（﹣1）n﹣1，利用裂项求和方法即可得出．

（3）dn＝ann2n﹣1，利用错位相减法可得数列{dn}的前n项和为Dn，又Sn＝2n﹣1．代入对任意的n∈N*，都有Dn≤nSn﹣a，即可得出．

（1）Sn＝2an﹣1（n∈N*），n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2an﹣1﹣（2an﹣1﹣1），化为：an＝2an﹣1．

n＝1时，a1＝2a1﹣1，解得a1＝1．

∴数列{an}是等比数列，公比为2．

∴an＝2n﹣1．

数列{bn}满足nbn+1﹣（n+1）bn＝n（n+1）（n∈N*），

化为：1，且b1＝1．

∴数列{}为等差数列，公差为1，首项为1．

∴1+n﹣1＝n，

bn＝n2．

（2）cn＝（﹣1）n﹣1（﹣1）n﹣1（﹣1）n﹣1，

∴数列{cn}的前n项和T2n

．

（3）dn＝ann2n﹣1，

数列{dn}的前n项和为Dn＝1+2×2+3×22+……+n2n﹣1，

2Dn＝2+2×22+……+（n﹣1）2n﹣1+n2n，

∴﹣Dn＝1+2+22+……+2n﹣1﹣n2nn2n，

解得Dn＝（n﹣1）2n+1．

Sn＝2an﹣1＝2n﹣1．

对任意的n∈N*，都有Dn≤nSn﹣a，

∴a≤n（2n﹣1）﹣（n﹣1）2n﹣1＝2n﹣n﹣1．

令dn＝2n﹣n﹣1．则dn+1﹣dn＝2n+1﹣（n+1）﹣1﹣（2n﹣n﹣1）＝2n﹣1＞0．

∴数列{dn}单调递增．

∴a≤（dn）min＝d1＝0．

∴实数a的取值范围是（﹣∞，0]．