【题目】(题文)(江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试数学试题)已知等差数列{an}和等比数列{bn}均不是常数列,若a1=b1=1,且a1,2a2,4a4成等比数列, 4b2,2b3,b4成等差数列.
(1)求{an}和{bn}的通项公式;
(2)设m,n是正整数,若存在正整数i,j,k(i<j<k),使得ambj,amanbi,anbk成等差数列,求m+n的最小值;
(3)令cn=,记{cn}的前n项和为Tn,{
}的前n项和为An.若数列{pn}满足p1=c1,且对n≥2, n∈N*,都有pn=
+Ancn,设{pn}的前n项和为Sn,求证:Sn<4+4lnn.
【答案】(1)(2)
或
(3)见解析
【解析】分析:(1)设等差数列的公差为d(d≠0),等比数列在公比为q(q≠1)根据等差等比的通项公式化为首项和公差公比的关系求出公差公比记得到通项;(2)由ambj,amanbi,anbk成等差数列,有, 即
,化简得
, 可得
, 即
,然后结合m,n进行讨论求值即可;(3)结合错位相减法求和,在结合函数的思维构造不等式
可得结论.
解:(1)设等差数列的公差为d(d≠0),等比数列在公比为q(q≠1),由题意得:
解得d=1,q=2,
所以.
(2)由ambj,amanbi,anbk成等差数列,
有,
即 ,
由于,且为正整数,所以
,
所以,
可得 , 即
,
①当1≤m≤2时,不等式不成立;
②当 或
时
成立;
③当时,
,
,即
,则有
;
所以的最小值为6,
当且仅当,
且
或
时取得.
(3)由题意得:
(1)
(2)
(1)—(2)得
,
求得 ,
所以 ,
设,则
,
所以 在
上单调递增,有
,
可得 .
当,且
N*时,
,
有 ,
所以,
可得,
所以.
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【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2an-1(n∈N*),数列{bn}满足nbn+1-(n+1)bn=n(n+1)(n∈N*),且b1=1.
(1)证明数列{}为等差数列,并求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)若cn=(-1)n-1,求数列{cn}的前n项和T2n;
(3)若dn=an,数列{dn}的前n项和为Dn,对任意的n∈N*,都有Dn≤nSn-a,求实数a的取值范围.
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【题目】如图,在正方体中,点
,
分别为棱
,
的中点,点
为上底面的中心,过
,
,
三点的平面把正方体分为两部分,其中含
的部分为
,不含
的部分为
,连结
和
的任一点
,设
与平面
所成角为
,则
的最大值为
A. B.
C. D.
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【题目】两个人射击,甲射击一次中靶概率是,乙射击一次中靶概率是
.
(1)两人各射击一次,中靶至少一次就算完成目标,则完成目标概率是多少?
(2)两人各射击2次,中靶至少3次就算完成目标,则完成目标的概率是多少?
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【题目】某单位为了解其后勤部门的服务情况,随机访问了40名其他部门的员工,根据这40名员工对后勤部门的评分情况,绘制了频率分布直方图如图所示,其中样本数据分组区间为,
,
,
,
,
.
(1)求的值;
(2)估计该单位其他部门的员工对后勤部门的评分的中位数;
(3)以评分在的受访者中,随机抽取2人,求此2人中至少有1人对后勤部门评分在
内的概率.
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【题目】某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:
该兴趣小组确定的研究方案是:先用2、3、4、5月的4组数据求线性回归方程,再用1月和6月的2组数据进行检验.
(1)请根据2、3、4、5月的数据,求出y关于x的线性回归方程;
(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?
(参考公式: ,
)
参考数据:11×25+13×29+12×26+8×16=1092,112+132+122+82=498.
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【题目】设,
或
,
,
.
从以下两个命题中任选一个进行证明:
当
时函数
恰有一个零点;
当
时函数
恰有一个零点;
如图所示当
时
如
,
与
的图象“好像”只有一个交点,但实际上这两个函数有两个交点,请证明:当
时,
与
两个交点.
若方程
恰有4个实数根,请结合
的研究,指出实数k的取值范围
不用证明
.
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