【题目】设数列的前
项和为
,对任意
,点
都在函数
的图象上.
(1)求,归纳数列
的通项公式(不必证明).
(2)将数列依次按
项、
项、
项、
项、
项循环地分为
,
,
,
,各个括号内各数之和,设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为
,求
的值.
(3)设为数列
的前
项积,若不等式
对一切
都成立,其中
,求
的取值范围.
【答案】(1),
,
,
(2)3012 (3)
【解析】
(1)求得,分别令
,2,3,进而归纳出数列
的通项公式;
(2)写出几个循环数,可得每一次循环记为一组,由每一个循环含有5个括号,故是第20组中第5个括号内的数之和,每一个循环中含有15个数,20个循环具有300个数,计算可得所求和;
(3)由题意可得原不等式即为对一切
都成立,
设,则只需
,判断数列
的单调性,可得最大值,解不等式即可得到所求
的范围.
因为点
在函数
的图象上,故
所以
令,得
,所以
;
令,得
,所以
;
令,得
,所以
;
由此猜想:.
因为
,所以数列
依次按
项、
项、
项、
项、
项循环地分为
,
,
,
每一次循环记为一组.由于每一个循环含有个括号,故
是第
组中第
个括号内各数之和,每个循环中有
个数,
个循环共有
个数.
又,所以
.
(3)因为故
,
所以
又
故对一切
都成立,
就是,则只需
即可
由于,所以
故是单调递减,
于是,
解得
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的焦距为4,且过点
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设为椭圆
上一点,过点
作
轴的垂线,垂足为
,取点
,连接
,过点
作
的垂线交
轴于点
,点
是点
关于
轴的对称点,作直线
,问这样作出的直线
是否与椭圆
一定有唯一的公共点?并说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在棱长均相等的四棱锥中,
为底面正方形的中心,
,
分别为侧棱
,
的中点,有下列结论正确的有:( )
A.∥平面
B.平面
∥平面
C.直线与直线
所成角的大小为
D.
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【题目】已知动圆在圆
:
外部且与圆
相切,同时还在圆
:
内部与圆
相切.
(1)求动圆圆心的轨迹方程;
(2)记(1)中求出的轨迹为,
与
轴的两个交点分别为
、
,
是
上异于
、
的动点,又直线
与
轴交于点
,直线
、
分别交直线
于
、
两点,求证:
为定值.
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【题目】已知等差数列的前
项和为
,等比数列
的前
项和为
,且
(1)设,求数列
的通项公式;
(2)在(1)的条件下,且,求满足
的所有正整数
;
(3)若存在正整数,且
,试比较
与
的大小,并说明理由.
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【题目】已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为Tn,a1=﹣1,b1=1,a2+b2=2.
(1)若a3+b3=5,求{bn}的通项公式;
(2)若T3=21,求S3.
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【题目】已知:函数f(x)=2lnx﹣ax2+3x,其中a∈R.
(1)若f(1)=2,求函数f(x)的最大值;
(2)若a=﹣1,正实数x1,x2满足f(x1)+f(x2)=0,证明:.
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【题目】如图,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,MD⊥平面ABCD,NB⊥平面ABCD,且MD=NB=1,E为MC的中点,则下列结论不正确的是( )
A. 平面平面ABN B.
C. 平面平面AMN D. 平面
平面AMN
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