Question

【题目】如图，三棱锥中，，，点，分别是棱，的中点，点是的重心.

（1）证明：平面；

（2）若与平面所成的角为，且，求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）根据等腰三角形三线合一可证，再证得到即可得证平面.

（2）连接并延长交于点，则点为的中点，连接，可得平面，即为与平面所成的角，由勾股定理可计算出、的值，根据求出锥体的体积.

（1）∵，是的中点，∴.

∵，是的中点，∴，

又，，∴.

∴，即.

平面，平面，且，

∴平面.

（2）连接并延长交于点，则点为的中点，连接，则.

由（1）得平面，∴为与平面所成的角，即.

又在中，，∴，.

∵是的重心，，分别是，的中点，∴，.

∵，，，分别是，中点，∴，，，

则在中，，∴.

所以三棱锥的体积.