Question

9．定义在R上的函数f（x）的图象关于y轴对称，且f（x）在[0，+∞）上单调递减，若关于x的不等式f（2mx-lnx-3）≥2f（3）-f（-2mx+lnx+3）在x∈[1，3]上恒成立，则实数m的取值范围为（　　）

• A． [$\frac{1}{2e}$，$\frac{ln6+6}{6}$]
• B． [$\frac{1}{e}$，$\frac{ln6+6}{3}$]
• C． [$\frac{1}{e}$，$\frac{ln3+6}{3}$]
• D． [$\frac{1}{2e}$，$\frac{ln3+6}{6}$]

Answer 1

分析 由条件利用函数的奇偶性和单调性，可得0≤2mx-lnx≤6对x∈[1，3]恒成立，2m≥$\frac{lnx}{x}$且2m≤$\frac{6+lnx}{x}$对x∈[1，3]恒成立．求得相应的最大值和最小值，从而求得m的范围．

解答 解：∴定义在R上的函数f（x）的图象关于y轴对称，
∴函数f（x）为偶函数，
∵函数数f（x）在[0，+∞）上递减，
∴f（x）在（-∞，0）上单调递增，
若不等式f（2mx-lnx-3）≥2f（3）-f（-2mx+lnx+3）对x∈[1，3]恒成立，
即f（2mx-lnx-3）≥f（3）对x∈[1，3]恒成立．
∴-3≤2mx-lnx-3≤3对x∈[1，3]恒成立，
即0≤2mx-lnx≤6对x∈[1，3]恒成立，
即2m≥$\frac{lnx}{x}$且2m≤$\frac{6+lnx}{x}$对x∈[1，3]恒成立．
令g（x）=$\frac{lnx}{x}$，则 g′（x）=$\frac{1-lnx}{x}$，在[1，e）上递增，（e，3]上递减，∴g（x）_max=$\frac{1}{e}$．
令h（x）=$\frac{6+lnx}{x}$，h′（x）=$\frac{-5-lnx}{{x}^{2}}$＜0，在[1，3]上递减，∴h（x）_min=$\frac{6+ln3}{3}$．
综上所述，m∈[$\frac{1}{2e}$，$\frac{6+ln3}{6}$]．
故选D．

点评 本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．