Question

设：P：指数函数y=a^x在R内单调递减； Q：曲线y=x²+（2a-3）x+1与x轴交于不同的两点．如果P∨Q为真，￢Q也为真，求a的取值范围．

Answer 1

分析：当0＜a＜1时，指数函数y=a^x在R内单调递减，曲线y=x²+（2a-3）x+1与x轴有两个不同的交点等价于（2a-3）²-4＞0，由此利用复合命题的关系能求出a的取值范围．

解答：解：∵当0＜a＜1时，指数函数y=a^x在R内单调递减，
当a＞1时，指数函数y=a^x在R内单调递增，
∴当命题P是真命题时，0＜a＜1；
当命题P是假命题时，a＞1．
∵曲线y=x²+（2a-3）x+1与x轴有两个不同的交点等价于（2a-3）²-4＞0，
解得a＜

1

2

或a＞

5

2

．
∴当命题Q是真命题时，则a＜

1

2

或a＞

5

2

；
当命题Q是假命题时，

1

2

≤a≤

5

2

．
∵P∨Q为真，￢Q也为真，
∴命题P是真命题，即0＜a＜1；
命题Q是假命题，即

1

2

≤a≤

5

2

，
因此，a∈（0，1）∩[

1

2

，

5

2

]=[

1

2

，1），
即a∈[

1

2

，1)，
故a的取值范围是[

1

2

，1）．

点评：本题考查复合命题的真假判断，解题时要认真审题，注意指数函数的性质的灵活运用．