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设:P:指数函数y=ax在R内单调递减; Q:曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点.如果P∨Q为真,¬Q也为真,求a的取值范围.
【答案】分析:当0<a<1时,指数函数y=ax在R内单调递减,曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴有两个不同的交点等价于(2a-3)2-4>0,由此利用复合命题的关系能求出a的取值范围.
解答:解:∵当0<a<1时,指数函数y=ax在R内单调递减,
当a>1时,指数函数y=ax在R内单调递增,
∴当命题P是真命题时,0<a<1;
当命题P是假命题时,a>1.
∵曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴有两个不同的交点等价于(2a-3)2-4>0,
解得
∴当命题Q是真命题时,则
当命题Q是假命题时,
∵P∨Q为真,¬Q也为真,
∴命题P是真命题,即0<a<1;
命题Q是假命题,即
因此,a∈(0,1)∩[]=[,1),

故a的取值范围是[,1).
点评:本题考查复合命题的真假判断,解题时要认真审题,注意指数函数的性质的灵活运用.
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