Question

3．（1）已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为6，离心率为3，求双曲线的标准方程；
（2）已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，且焦点到准线的距离为1，求抛物线的标准方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可得2c=6，e=3，由离心率公式和a，b，c的关系，可得a，b，进而得到所求双曲线的方程；
（2）设抛物线的方程为y²=mx，求得焦点和准线方程，由题意可得$\frac{|m|}{2}$=1，即可得到所求抛物线的方程．

解答 解：（1）由题意可得2c=6，e=3，
即有c=3，$\frac{c}{a}$=3，a²+b²=c²，
解得a=1，b=2$\sqrt{2}$，
则所求双曲线的方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1或y²-$\frac{{x}^{2}}{8}$=1；
（2）设抛物线的方程为y²=mx，
焦点为（$\frac{m}{4}$，0），准线为x=-$\frac{m}{4}$，
由题意可得$\frac{|m|}{2}$=1，
即有m=±2，
则所求抛物线的方程为y²=2x或y²=-2x．

点评 本题考查双曲线和抛物线的方程的求法，考查待定系数法的运用，考查运算能力，属于基础题．