Question

14．进入冬季以来，我国北方地区的雾霾天气持续出现，极大的影响了人们的健康和出行，我市环保局对该市2015年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为（5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图．
（1）求a的值；
（2）如果空气质量指数不超过15，就认定空气质量为“特优等级”，则从今年的监测数据中随机抽取3天的数值，其中达到“特优等级”的天数为X．求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，由此能求出a．
（2）由已知得X的取值为0，1，2，3，且X～B（3，$\frac{1}{5}$），由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，
得：（0.02+0.032+a+0.018）×10=1，
解得a=0.03．
（2）利用样本估计总体，该年度空所质量指数在（5，15]内为“特优等级”，
且指数达到“特优等级”的概率为0.2，
则X的取值为0，1，2，3，且X～B（3，$\frac{1}{5}$），
P（X=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{4}{5}）^{3}$=$\frac{64}{125}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{1}{5}）（\frac{4}{5}）^{2}$=$\frac{48}{125}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{5}）^{2}（\frac{4}{5}）$=$\frac{12}{125}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{1}{5}）^{3}=\frac{1}{125}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{64}{125}$	$\frac{48}{125}$	$\frac{12}{125}$	$\frac{1}{125}$

∴EX=0×$\frac{64}{125}$+1×$\frac{48}{125}$+2×$\frac{12}{125}$+3×$\frac{1}{125}$=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．