Question

9．某品牌汽车4S店，对该品牌旗下的A型、B型、C型汽车进行维修保养，每辆车一年内需要维修的人工费用为200元，汽车4S店记录了该品牌三种类型汽车各100辆到店维修的情况，整理得下表：

车型	A型	B型	C型
频数	20	40	40

假设该店采用分层抽样的方法从上维修的100辆该品牌三种类型汽车中随机抽取10辆进行问卷回访．
（1）从参加问卷到访的10辆汽车中随机抽取两辆，求这两辆汽车来自同一类型的概率；
（2）某公司一次性购买该品牌A、B、C型汽车各一辆，记ξ表示这三辆车的一年维修人工费用总和，求ξ的分布列及数学期望（各型汽车维修的概率视为其需要维修的概率）；
（3）经调查，该品牌A型汽车的价格与每月的销售量之间有如下关系：

价格（万元）	25	23.5	22	20.5
销售量（辆）	30	33	36	39

已知A型汽车的购买量y与价格x符合如下线性回归方程：$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+80，若A型汽车价格降到19万元，请你预测月销售量大约是多少？

Answer 1

分析 （1）100辆该品牌三种类型汽车中随机抽取10辆进行问卷回访，A、B、C型汽车各2，4，4辆．从参加问卷到访的10辆汽车中随机抽取两辆，有${C}_{10}^{2}$=45种方法，即可求这两辆汽车来自同一类型的概率；
（2）ξ的取值为0，200，400，600，求出相应的概率，即可求ξ的分布列及数学期望；
（3）求出b，即可预测月销售量．

解答 解：（1）100辆该品牌三种类型汽车中随机抽取10辆进行问卷回访，A、B、C型汽车各2，4，4辆．
从参加问卷到访的10辆汽车中随机抽取两辆，有${C}_{10}^{2}$=45种方法，这两辆汽车来自同一类型的概率为$\frac{{C}_{2}^{2}+2{C}_{4}^{2}}{45}$=$\frac{13}{45}$；
（2）ξ的取值为0，200，400，600，
P（ξ=0）=0.8×0.6×0.6=0.288，P（ξ=200）=0.2×0.6×0.6+0.8×0.4×0.6+0.8×0.6×0.4=0.456，
P（ξ=400）=0.2×0.4×0.6+0.2×0.6×0.4+0.8×0.4×0.4=0.224，
P（ξ=600）=0.2×0.4×0.4=0.032，
∴ξ的分布列

ξ	0	200	400	600
P	0.288	0.456	0.224	0.032

数学期望Eξ=0×0.288+200×0.456+400×0.224+600×0.032=200；
（3）$\overline{x}$=$\frac{1}{4}$（25+23.5+22+20.5）=22.75，$\overline{y}$=$\frac{1}{4}$（30+33+36+39）=35.25，
∵$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+80，
∴35.25=$\stackrel{∧}{b}$×22.75+80，
∴$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{179}{91}$，
x=19，y=19×$\frac{179}{91}$+80≈117．

点评 本题考查概率的计算，考查分布列及数学期望，考查线性回归方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．