Question

（2011•许昌一模）选修4-5；不等式选讲
（Ⅰ）解不等式：|2x-1|-|x-2|＜0；
（Ⅱ）设a＞0为常数，x，y，z∈R，x+y+z=a，x²+y²+z²=

a2

2

，求z的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）对x的取值情况分类讨论，去掉绝对值符号，转化为一次不等式解即可；
（Ⅱ）将已知条件变形，x+y=a-z，x²+y²=

a2

2

-z²，利用柯西不等式可得（x+y）²≤2（x²+y²），从而转化为关于z的一元二次不等式3z²-2az≤0，解之即可．

解答：解：（Ⅰ）当x＜

1

2

时，原不等式化为1-2x+x-2＜0⇒-1＜x＜

1

2

；
当

1

2

≤x≤2时，原不等式化为2x-1+x-2＜0⇒

1

2

≤x＜1；
当x＞2时，原不等式化为2x-1-x+2＜0⇒x＜-1⇒x∈Φ；
综上，原不等式的解集为{x|-1＜x＜1}．（5分）
（Ⅱ）因为x+y=a-z，x²+y²=

a2

2

-z²，
所以，由柯西不等式得（x+y）²≤2（x²+y²），即（a-z）²≤2（

a2

2

-z²），
即3z²-2az≤0，
所以z的取值范围是z∈[0，

2a

3

]（10分）．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想与柯西不等式的应用，考查一元二次不等式，属于中档题．