Question

（2011•许昌一模）设a＞0，已知函数f（x）=e^x（ax²+x+1）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设g（x）=x²-2bx+4．若对?x₁∈[0，1]，?x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂）．求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先求出函数f（x）的导函数f'（x），然后讨论a与0的大小关系，在函数的定义域内解不等式f'（x）＞0和f'（x）＜0，即可求出函数f（x）的单调区间；
（II）将f（x₁）≥g（x₂）问题转化为求函数的最值问题：g（x）在[1，2]上的最小值不大于f（x）在[0，1]上的最小值1．

解答：解：（Ⅰ）∵f'（x）=e^x（ax²+x+1+2ax+1）=e^x（x+2）（ax+1）（2分）
令f'（x）＞0，得（x+2）（ax+1）＞0，
∴当a∈(0，

1

2

)时，f(x)在(-∞，-

1

a

)上递增，在(-

1

a

，-2)上递减，在-2，+∞上递增；
当a=

1

2

时，f(x)在(-∞，+∞)上递增；
当a∈(

1

2

，+∞)时，f(x)在(-∞，-2)上递增，在(-2，-

1

a

)上递减，在(-

1

a

，+∞)上递增．           （6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a＞0时，f（x）在[0，1]总是单调增加，
故f（x）在[0，1]的最小值为f（0）=1．              （8分）
由于“对?x₁∈[0，1]，?x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂）成立”等价于
“g（x）在[1，2]上的最小值不大于f（x）在[0，1]上的最小值1”．      （9分）
又g（x）=（x-b）²+4-b²，x∈[1，2]，所以，
①当b＜1时，因为[g（x）]_min=g（1）=5-2b≤1，此时无解；
②当b∈[1，2]时，因为[g(x)]min=4-b2≤1，解得

3

≤b≤2；
③当b∈（2，+∞）时，因为[g（x）]_min=g（2）=8-4b≤1，解得b＞2；
综上，b的取值范围是[

3

，+∞)．                （12分）

点评：本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．