Question

在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球5个，白球3个，蓝球2个．现从中任取出一球确定颜色后放回盒子里，再取下一个球．重复以上操作，最多取3次，过程中如果取出蓝色球则不再取球．求：
（1）最多取两次就结束的概率；
（2）整个过程中恰好取到2个白球的概率；
（3）取球次数的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（1）先分别求出任取一球，取到每种颜色的球的概率，因为取出蓝色球则不再取球，所以最多取两次就结束有两种情况，第一种，第一次取球，取到蓝球，第二种情况，第一次取球，取到红球或白球，第二次取球，取到蓝球，把两种情况的概率求出，再相加即可．
（2）由（1）知任取一球，取到白球的概率为

3

10

，取到蓝球的概率为

1

5

，取到红球的概率为

1

2

，而恰好取到2个白球 包括三个互斥事件，即（白，白，非白），（白，红，白），（红，白，白），分别计算它们的概率，最后相加即可
（3）设取球次数为X，则X的可能取值为1，2，3，X=1即第一次就抓到蓝球，X=2即第一次不是蓝球，第二次是蓝球，X=3即第一次不是蓝球，第二次不是蓝球；分别计算它们的概率，列出分布列，由期望公式计算X的期望

解答：解：（1）由题意知，任取一球，取到红球的概率为

5

5+3+2

=

1

2

任取一球，取到白球的概率为

3

5+3+2

=

3

10

任取一球，取到蓝球的概率为

2

5+3+2

=

1

5

∵如果取出蓝色球则不再取球，∴最多取两次就结束的概率为

1

5

+

1

2

×

1

5

+

3

10

×

1

5

=

9

25

（2）设A={整个过程中恰好取到2个白球}，B_i={第i次取到白球} H_i={第i次取到红球} L_i={第i次取到蓝球}
则P（A）=P（B₁B₂

.

B3

）+P（H₁B₂B₂）+P（B₁H₂B₃）
=

3

10

×

3

10

×

7

10

+

1

2

×

3

10

×

3

10

+

3

10

×

1

2

×

3

10

=

153

1000

（3）设取球次数为X，则X的可能取值为1，2，3
P（X=1）=

2

5+3+2

=

1

5

P（X=2）=

1

2

×

1

5

+

3

10

×

1

5

=

4

25

P（X=3）=

4

5

×

4

5

=

16

25

随机变量X的分布列如下

X	1	2	3
P	1 5	4 25	16 25

从而E（X）=1×

1

5

+2×

4

25

+3×

16

25

=

61

25

点评：本题考察了古典概型概率的求法，互斥事件有一个发生的概率和相互独立事件同时发生的概率计算，以及离散型随机变量的分布列及其期望的求法