Question

【题目】【2018届天津市耀华中学高三上学期第三次月考】已知椭圆的一个焦点在直线上，且离心率.

（1）求该椭圆的方程；

（2）若与是该椭圆上不同的两点，且线段的中点在直线上，试证： 轴上存在定点，对于所有满足条件的与，恒有；

（3）在（2）的条件下， 能否为等腰直角三角形？并证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析（3）见解析

【解析】试题分析： 利用椭圆的性质，离心率计算公式及即可求出；

⑵分直线的斜率存在与不存在两种情况： 斜率存在时，设出其方程，与椭圆方程联立得到关于斜率的方程式，从而得到坐标间的关系式。假设轴上存在定点，对于所有满足条件的，恒有，得到点的坐标，即证命题存在；当直线的斜率不存在时，易知成立，命题得证；

⑶分类讨论，利用等腰直角三角形的性质和两点间的距离关系及其根与系数的关系即可得到满足条件的直线斜率存在即可；

解析：（1）∵椭圆的一个焦点在直线上，∴，

又，∴，

∴该椭圆的方程为.

（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

，

，

设，则， ，

∵弦的中点在直线上，∴ ，

∴ ，∴，

将代入得，

假设在轴上存在定点， ，

∴ ，

∴ ，即，

当直线的斜率不存在时，直线垂直于轴，此时显然成立，综上， 轴上存在定点.

（3）假设能为等腰直角三角形，则，

∴，

，

，

又，

∴ ，

，符合（*），

∴在（2）的条件下， 能为等腰直角三角形.