Question

已知f(x)=

2 sinx

1+cos2x

，
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）当x∈[-π，π]时，画出f（x）的简图，并指出函数的单调区间．

Answer 1

分析：（1）由已知中f(x)=

2 sinx

1+cos2x

，我们可以先求出函数的定义域A，验证A是否关于原点对称，若对称，再判断f（-x）与f（x）的关系，然后根据函数奇偶性的定义得到结论．
（2）根据（1）中函数的解析式，我们结合正切函数的图象及函数的对折变换及画出当x∈[-π，π]时，画出f（x）的简图，结合函数的图象即可得到函数的单调区间．

解答：解：（1）由函数f(x)=

2 sinx

1+cos2x

的解析式可得
函数的定义域为{x|x≠kπ+

π

2

，k∈Z}关于原点对称
又∵f(x)=

2 sinx

1+cos2x

=

sinx

|cosx|

∴f(-x)=

sin(-x)

|cos(-x)|

=-

sinx

|cosx|

=-f（x）
∴函数f(x)=

2 sinx

1+cos2x

为奇函数..（4分）
（2）由（1）可得f(x)=

tanx(- π 2 ＜x＜ π 2 ) -tanx(-π≤x＜- π 2 或 π 2 ＜x≤π)

其图象如下图所示：

由图可知函数f(x)=

2 sinx

1+cos2x

在（-

π

2

，

π

2

）递增，在[-π，-

π

2

）及（

π

2

，π]递减

点评：本题考查的知识点是正切函数的图象，函数奇偶性的判断，正切函数的单调性，（1）中一定要先判断函数的定义域A是否关于原点对称，（2）中关键是要将函数的解析式化为分段函数的形式．