Question

求二次函数f（x）=x²-2ax+2在[2，4]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析：分对称轴和闭区间的三种位置关系：轴在区间左边，轴在区间右边，轴在区间中间来讨论即可．

解答：解：∵f（x）=x²-2ax+2=（x-a）²+2-a²，对称轴是x=a，
当a＜2时，f（x）=x²-2ax+2在[2，4]上是增函数，故最大值f（4）=18-8a，最小值f（2）=6-4a
当a＞4时，f（x）=x²-2ax+2在[2，4]上是减函数，故最大值f（2）=6-4a，最小值f（4）=18-8a
当2≤a≤4时，f（x）=x²-2ax+2在[2，4]上先减后增，最小值f（a）=2-a²，
①2≤a＜3，最大值f（4）=18-8a，
②3≤a≤4，最大值f（2）=6-4a，
综上得，二次函数f（x）=x²-2ax+2在[2，4]上的最大值f（a）=

18-8a a＜3 6-4a a≥3

最小值f（a）=

6-4a a＜2 2-a2 2≤a≤4 18-8a a＞4

点评：本题的实质是求二次函数的最值问题，关于解析式中带参数的二次函数在固定闭区间上的最值问题，一般是根据对称轴和闭区间的位置关系来进行分类讨论，如轴在区间左边，轴在区间右边，轴在区间中间，最后在综合归纳得出所需结论